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Deducción de la ecuación de CaudalEditar

Partiendo de la ecuación de continuidad:

$ Q=\Pi D_{{2}} \,b_{{2}}C_{{3\,m}} $

Modelo Prototipo

$ Q_{{M}}=\Pi D_{{2}{M}} b_{{2}{M}}C_{{3m}{M}} $

$ \frac {b_{{2}{M}}}{D_{{2}{M}}}=K_{1} $

$ Q_{{M}}=\Pi K_{1} {D_{{2}{M}}}^{2} C_{{3m}{M}} $

$ \frac {C_{{3}{M}}}{U_{{2}{M}}}=K_{2} $

$ Q_{{M}}=\Pi K_{1} K_{2} {D_{{2}{M}}}^{2} U_{{2m}{M}} $

Por ultimo:

$ U_{{2M}}=\omega_{M} D_{{2}{M}}=\frac {2 \Pi}{60} n_{M} D_{{2}{M}} $

Se obtiene:

$ Q_{{M}}=\frac {\Pi^{2}}{60} K_{1} K_{2} n_{M} {D_{{2}{M}}}^{3} $

Despejando y separando las constantes de las variables se obtiene finalmente:

$ \frac {Q_{{M}}}{n_{M} {D_{{2}{M}}}^{3}}=\frac {\Pi^{2}}{60} K_{1} K_{2} $

$ Q_{{P}}=\Pi {D_{{2}{P}}} b_{{2}{P}}C_{{3m}{P}} $

$ \frac {b_{{2}{P}}}{D_{{2}{P}}}=K_{1} $

$ Q_{{P}}=\Pi K_{1} {D_{{2}{P}}}^{2} C_{{3m}{P}} $

$ \frac {C_{{3}{P}}}{U_{{2}{P}}}=K_{2} $

$ Q_{{P}}=\Pi K_{1} K_{2} {D_{{2}{P}}}^{2} U_{{2m}{P}} $

Por ultimo:

$ U_{{2P}}=\omega_{P} {D_{{2}{P}}}=\frac {2 \Pi}{60} n_{P} {D_{{2}{P}}} $

Se obtiene:

$ Q_{{P}}=\frac {\Pi^{2}}{60} K_{1} K_{2} n_{P} {D_{{2}{P}}}^{3} $

Despejando y separando las constantes de las variables se obtiene finalmente:

$ \frac {Q_{{P}}}{n_{P} {D_{{2}{P}}}^{3}}=\frac {\Pi^{2}}{60} K_{1} K_{2} $



Los valores constanstes son iguales tanto para el modelo como para el prototipo, es por eso que se puede deducir una sola ecuación de semejanza en funcion del caudal, de la velocidad angular y del diametro de salida del rodete. Es por esto que esta ecuación se cumple si existe semejanza geométrica y semejanza cinemática

Por lo tanto la ecuación de semejanza es:

$ \frac {Q}{{n}{D_{{2}}}^{3}}=ctte $

Deducción de la ecuación de AlturaEditar

Partiendo de la ecuación de continuidad:

$ lu=U_{2}C_{3U}-U_{1}C_{0U} $

Considerando que para bombas con $ \alpha_{0}=90º $:

$ lu=U_{2}C_{3U} $

Comparando esta ecuación con un modelo y un prototipo:

Modelo Prototipo

$ lu_{M}=U_{2M}C_{3UM} $

$ \frac {\vec{C}_{3UM}}{\vec{U}_{2M}}=K_{3} $

$ lu_{M}=K_{3}U_{2M}^{2} $

$ lu_{M}=K_{3} \frac {\Pi^{2} n^{2}_{M} D^{2}_{2M}}{60^2} $

$ \frac {lu_{M}}{n^{2}_{M}D^{2}_{2M}}=K_{3} \frac {\Pi^{2} }{60^2} $

Sabiendo que:

$ \eta_{h}=\frac {L}{lu} $ y $ L=gH $

Se obtiene:

$ lu=\frac {gH}{\eta_{h}} $

Igualando:

$ \frac {g H_{M}}{\eta_{h} n^{2}_{M}D^{2}_{2M}}=K_{3} \frac {\Pi^{2} }{60^2} $

Despejando y separando las constantes de las variables se obtiene finalmente:

$ \frac {H_{M}}{\eta_{h} n^{2}_{M}D^{2}_{2M}}=K_{3} \frac {\Pi^{2} }{g \cdot 60^2} $

$ lu_{P}=U_{2P}C_{3UP} $

$ \frac {\vec{C}_{3UP}}{\vec{U}_{2P}}=K_{3} $

$ lu_{P}=K_{3}U_{2P}^{2} $

$ lu_{P}=K_{3} \frac {\Pi^{2} n^{2}_{P} D^{2}_{2P}}{60^2} $

$ \frac {lu_{P}}{n^{2}_{P}D^{2}_{2P}}=K_{3} \frac {\Pi^{2} }{60^2} $

Sabiendo que:

$ \eta_{h}=\frac {L}{lu} $ y $ L=gH $

Se obtiene:

$ lu=\frac {gH}{\eta_{h}} $

Igualando:

$ \frac {g H_{P}}{\eta_{hP} n^{2}_{P}D^{2}_{2P}}=K_{3} \frac {\Pi^{2} }{60^2} $

Despejando y separando las constantes de las variables se obtiene finalmente:

$ \frac {H_{P}}{\eta_{hP} n^{2}_{P}D^{2}_{2P}}=K_{3} \frac {\Pi^{2} }{g \cdot 60^2} $

Uniendo los resultados de ambas bombas obtenemos que:

$ \frac {H_{M}}{\eta_{hM} n^{2}_{M}D^{2}_{2M}}=\frac {H_{P}}{\eta_{hP} n^{2}_{P}D^{2}_{2P}} $

Si existe semejanza dinámica:

$ \frac {\dot {W_{M}}}{\dot {P_{M}}}=\frac {\dot {W_{P}}}{\dot {P_{P}}}=\eta_{hM}=\eta_{hP}=K_4 $

Finalmente la ecuación de semejanza (incluyendo semejanza dinámica):

$ \frac {H}{n^{2}D^{2}_{2}}=ctte $

Deducción de la ecuación de PotenciaEditar

Partiendo de la ecuación de caudal y de altura (semejanza) se puede deducir que:

$ Q \sim n \cdot D_{2}^{3} $

$ H \sim n^{2} \cdot D^{2}_{2} $

Sabiendo que:

$ N=\gamma Q H $

$ N \sim \gamma \cdot n^{2} \cdot D^{2}_{2} \cdot n \cdot D_{2}^{3} $

$ N \sim \gamma \cdot n^{3} \cdot D^{5}_{2} $

De este modo se deduce que:

$ \frac {N}{\gamma \cdot n^{3} \cdot D^{5}_{2}}=ctte $

Deducción de la ecuación de MomentoEditar

Partiendo de la ecuación de potencia:

$ \frac {N}{\gamma \cdot n^{3} \cdot D^{5}_{2}}=ctte $

De la ecuación de potencia en el eje:

$ N \sim M \cdot n $

Igualando finalmente se obtiene:

$ \frac {N}{\gamma \cdot n^{2} \cdot D^{5}_{2}}=ctte $

Vea tambiénEditar