Turbomáquinas: Semejanza: Deduccion de la Ecuaciones

Deducción de la ecuación de Caudal

Partiendo de la ecuación de continuidad:

$Q=\Pi D_{2}\,b_{2}C_{3\,m}$

Modelo

Prototipo

$Q_{M}=\Pi D_{{2}{M}}b_{{2}{M}}C_{{3m}{M}}$ ${\frac {b_{{2}{M}}}{D_{{2}{M}}}}=K_{1}$ $Q_{M}=\Pi K_{1}{D_{{2}{M}}}^{2}C_{{3m}{M}}$ ${\frac {C_{{3}{M}}}{U_{{2}{M}}}}=K_{2}$ $Q_{M}=\Pi K_{1}K_{2}{D_{{2}{M}}}^{2}U_{{2m}{M}}$ Por ultimo: $U_{2M}=\omega _{M}D_{{2}{M}}={\frac {2\Pi }{60}}n_{M}D_{{2}{M}}$ Se obtiene: $Q_{M}={\frac {\Pi ^{2}}{60}}K_{1}K_{2}n_{M}{D_{{2}{M}}}^{3}$ Despejando y separando las constantes de las variables se obtiene finalmente: ${\frac {Q_{M}}{n_{M}{D_{{2}{M}}}^{3}}}={\frac {\Pi ^{2}}{60}}K_{1}K_{2}$

$Q_{P}=\Pi {D_{{2}{P}}}b_{{2}{P}}C_{{3m}{P}}$ ${\frac {b_{{2}{P}}}{D_{{2}{P}}}}=K_{1}$ $Q_{P}=\Pi K_{1}{D_{{2}{P}}}^{2}C_{{3m}{P}}$ ${\frac {C_{{3}{P}}}{U_{{2}{P}}}}=K_{2}$ $Q_{P}=\Pi K_{1}K_{2}{D_{{2}{P}}}^{2}U_{{2m}{P}}$ Por ultimo: $U_{2P}=\omega _{P}{D_{{2}{P}}}={\frac {2\Pi }{60}}n_{P}{D_{{2}{P}}}$ Se obtiene: $Q_{P}={\frac {\Pi ^{2}}{60}}K_{1}K_{2}n_{P}{D_{{2}{P}}}^{3}$ Despejando y separando las constantes de las variables se obtiene finalmente: ${\frac {Q_{P}}{n_{P}{D_{{2}{P}}}^{3}}}={\frac {\Pi ^{2}}{60}}K_{1}K_{2}$

Los valores constanstes son iguales tanto para el modelo como para el prototipo, es por eso que se puede deducir una sola ecuación de semejanza en funcion del caudal, de la velocidad angular y del diametro de salida del rodete. Es por esto que esta ecuación se cumple si existe semejanza geométrica y semejanza cinemática

Por lo tanto la ecuación de semejanza es:

${\frac {Q}{{n}{D_{2}}^{3}}}=ctte$

Deducción de la ecuación de Altura

Partiendo de la ecuación de continuidad:

$lu=U_{2}C_{3U}-U_{1}C_{0U}$

Considerando que para bombas con Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \alpha_{0}=90º} :

$lu=U_{2}C_{3U}$

Comparando esta ecuación con un modelo y un prototipo:

Modelo

Prototipo

$lu_{M}=U_{2M}C_{3UM}$ ${\frac {{\vec {C}}_{3UM}}{{\vec {U}}_{2M}}}=K_{3}$ $lu_{M}=K_{3}U_{2M}^{2}$ $lu_{M}=K_{3}{\frac {\Pi ^{2}n_{M}^{2}D_{2M}^{2}}{60^{2}}}$ ${\frac {lu_{M}}{n_{M}^{2}D_{2M}^{2}}}=K_{3}{\frac {\Pi ^{2}}{60^{2}}}$ Sabiendo que: $\eta _{h}={\frac {L}{lu}}$ y $L=gH$ Se obtiene: $lu={\frac {gH}{\eta _{h}}}$ Igualando: ${\frac {gH_{M}}{\eta _{h}n_{M}^{2}D_{2M}^{2}}}=K_{3}{\frac {\Pi ^{2}}{60^{2}}}$ Despejando y separando las constantes de las variables se obtiene finalmente: ${\frac {H_{M}}{\eta _{h}n_{M}^{2}D_{2M}^{2}}}=K_{3}{\frac {\Pi ^{2}}{g\cdot 60^{2}}}$

$lu_{P}=U_{2P}C_{3UP}$ ${\frac {{\vec {C}}_{3UP}}{{\vec {U}}_{2P}}}=K_{3}$ $lu_{P}=K_{3}U_{2P}^{2}$ $lu_{P}=K_{3}{\frac {\Pi ^{2}n_{P}^{2}D_{2P}^{2}}{60^{2}}}$ ${\frac {lu_{P}}{n_{P}^{2}D_{2P}^{2}}}=K_{3}{\frac {\Pi ^{2}}{60^{2}}}$ Sabiendo que: $\eta _{h}={\frac {L}{lu}}$ y $L=gH$ Se obtiene: $lu={\frac {gH}{\eta _{h}}}$ Igualando: ${\frac {gH_{P}}{\eta _{hP}n_{P}^{2}D_{2P}^{2}}}=K_{3}{\frac {\Pi ^{2}}{60^{2}}}$ Despejando y separando las constantes de las variables se obtiene finalmente: ${\frac {H_{P}}{\eta _{hP}n_{P}^{2}D_{2P}^{2}}}=K_{3}{\frac {\Pi ^{2}}{g\cdot 60^{2}}}$

Uniendo los resultados de ambas bombas obtenemos que:

${\frac {H_{M}}{\eta _{hM}n_{M}^{2}D_{2M}^{2}}}={\frac {H_{P}}{\eta _{hP}n_{P}^{2}D_{2P}^{2}}}$

Si existe semejanza dinámica:

${\frac {\dot {W_{M}}}{\dot {P_{M}}}}={\frac {\dot {W_{P}}}{\dot {P_{P}}}}=\eta _{hM}=\eta _{hP}=K_{4}$

Finalmente la ecuación de semejanza (incluyendo semejanza dinámica):

${\frac {H}{n^{2}D_{2}^{2}}}=ctte$

Deducción de la ecuación de Potencia

Partiendo de la ecuación de caudal y de altura (semejanza) se puede deducir que:

$Q\sim n\cdot D_{2}^{3}$

$H\sim n^{2}\cdot D_{2}^{2}$

Sabiendo que:

$N=\gamma QH$

$N\sim \gamma \cdot n^{2}\cdot D_{2}^{2}\cdot n\cdot D_{2}^{3}$

$N\sim \gamma \cdot n^{3}\cdot D_{2}^{5}$

De este modo se deduce que:

${\frac {N}{\gamma \cdot n^{3}\cdot D_{2}^{5}}}=ctte$

Deducción de la ecuación de Momento

Partiendo de la ecuación de potencia:

${\frac {N}{\gamma \cdot n^{3}\cdot D_{2}^{5}}}=ctte$

De la ecuación de potencia en el eje:

$N\sim M\cdot n$

Igualando finalmente se obtiene:

${\frac {N}{\gamma \cdot n^{2}\cdot D_{2}^{5}}}=ctte$

Vea también

• Semejanza